Αριθμητικές Μέθοδοι στη Στατιστική (7 ΠΜ)

Κωδικός: 
6115
Εξάμηνο: 
8o
Μαθήματα Επιλογής
Διδάσκων: 

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ

Γενικές αρχές αριθμητικών υπολογισμών και βασικά εργαλεία στην εκτίμηση της ακρίβειας των υπολογισμών. Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων μιας Μεταβλητής. Μέθοδος διχοτόμησης. Μέθοδος σταθερού σημείου. Μέθοδος του Νεύτωνα. Μέθοδος της τέμνουσας, μέθοδος εσφαλμένης θέσης. Προσέγγιση Συναρτήσεων. Προσέγγιση συναρτήσεων με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Παρεμβολή (interpolation) και πολυωνυμικές προσεγγίσεις συναρτήσεων. Ορθογώνια πολυώνυμα και εφαρμογές. Προσαρμογή καμπυλών. Συναρτήσεις spline. Προσέγγιση με χρήση πυρήνων (kernels). Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα. Ευθείες μέθοδοι για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων (direct methods). Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων. Παραγοντοποίηση πινάκων, ειδικές μορφές πινάκων. Η διάσπαση LU, η διάσπαση Cholesky. Επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Η μέθοδος Jacobi, η μέθοδος Gauss-Seidel και παραλλαγές της, η γενική επαναληπτική μέθοδος. Ειδικά γραμμικά συστήματα. Αριθμητική Επίλυση Μη Γραμμικών Συστημάτων. Η μέθοδος σταθερού σημείου για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, η μέθοδος του Νεύτωνα στην πολυδιάστατη περίπτωση. Μέθοδοι απότομης καθόδου (steepest descent methods). Αριθμητικές Μέθοδοι Ολοκλήρωσης και Παραγώγισης. Προσεγγίσεις με σειρές Taylor. Ολοκλήρωση με Monte Carlo. Αριθμητική παραγώγιση. Υπολογισμός παραγώγων με χρήση πολυωνύμων παρεμβολής. Μέθοδοι Αριθμητικής Βελτιστοποίησης. Τυπικές μορφές προβλημάτων βελτιστοποίησης, χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange στην θεωρία βελτιστοποίησης και συνθήκες βελτιστότητας Karush-Kuhn-Tucker (KKT). Η μέθοδος της απότομης καθόδου, η μέθοδος του Νεύτωνα για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης χωρίς ή και με ισοτικούς περιορισμούς. Μέθοδοι εσωτερικού σημείου - η μέθοδος του κεντρικού μονοπατιού και η χρήση συναρτήσεων φράγματος για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης με μεικτούς περιορισμούς. Αρχές Προσομοίωσης και Αλγόριθμοι Random Search. Η βασική ιδέα των ολικών μεθόδων αριθμητικής βελτιστοποίησης (global methods). Η αλγοριθμική μέθοδος Simulated Annealing. Ο αλγόριθμος ΕΜ. Παραλλαγές του αλγορίθμου ΕΜ.

Προτεινόμενη Βιβλιογραφία

  • Burden, R., Faires, J., (2010). Numerical Analysis. Cencage Learning.
  • Chapra, S., Canale, R. (2016). Αριθμητικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Εκδόσεις Τζιόλα.
  • Gentle, J. (2009). Στοιχεία Υπολογιστικής Στατιστικής. Εκδόσεις Παν. Μακεδονίας.
  • Lange, K. (2010). Numerical Analysis for Statisticians. Springer.
  • Monahan, J. F. (2011). Numerical methods of statistics. Cambridge University Press.

(παλιός τίτλος: Υπολογιστική Στατιστική)

Το περίγραμμα του μαθήματος βρίσκεται εδώ.